概率基础 The Basic of Probability
概率论的目标是用数学语言描述随机现象或实验
样本sample和样本空间
理解一个随机现象的方法是通过随机选取的样本sample.所有样本的集合称为“样本空间”。
比如：
-
随机扔骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6}
-
在0和1之间同几率随机选一个数字，样本空间为[0,1]
Sigma-algebra
要对一个集合X(比如样本空间)的子集(样本集合)进行测量(给一个实数)，并满足测度的常见性质，被测量的这些子集不可能是所有子集，需要满足一定的要求。
集合X的Sigma Algebra就是这样一种特殊的包括X的“X的子集的集合”。即：
包含X, 且关于“补运算”和“可数并运算”是封闭的。
设E是X上的Sigma Algebra，则 (X,E)称为可测量空间。
也就是说我们可以定义一个E到实数集R的映射，即给E的每个元素一个实数，比如下面的概率测度。
比如：
-
{1,2,3,4,5,6}的所有子集构成的集合是一个Sigma Algebra
-
[0,1]的所有开集的集合是一个Sigma Algebra.包含：
(a,b) [a,b], (a,b],{a},(a1,b1)U(a2,b2)U…,…
证明：参考2
概率测度Probability Measures
对可测空间(X,E)，我们可以定义一个满足下列条件的概率测度.
(1) P(X) = 1 , P(O) = 0;
(2) 满足可数可加性： 互不相交的可数个子集的并的概率等于这些子集概率的和。
(X,E,P)称为概率空间.例如：
-
X = {1,2,3,4,5,6} ,P(i) = 1/6; i = 1,2,3,4,5,6
-
[0,1]的Sigma Algebra, P([0,x)) = x .
随机变量Random Variables
随机变量就是给每个样本一个实数值，即一个X->R的可测函数，使得对于实数集R的Sigma Algebra的任一个元素B，其逆象是X的Sigma Algebra的一个元素。
例如“扔骰子”，可对每个样本定义可测函数：当它是奇数为0，当它是偶数为1.
期望
通俗地讲，就是随机变量的平均值。
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