-概率基础

The Basic of Probability

Posted by xuepro on November 10, 2017

概率基础 The Basic of Probability

概率论的目标是用数学语言描述随机现象或实验

样本sample和样本空间

理解一个随机现象的方法是通过随机选取的样本sample.所有样本的集合称为“样本空间”。

比如:

  • 随机扔骰子,样本空间为{1,2,3,4,5,6}

  • 在0和1之间同几率随机选一个数字,样本空间为[0,1]

Sigma-algebra

要对一个集合X(比如样本空间)的子集(样本集合)进行测量(给一个实数),并满足测度的常见性质,被测量的这些子集不可能是所有子集,需要满足一定的要求。

集合X的Sigma Algebra就是这样一种特殊的包括X的“X的子集的集合”。即:

包含X, 且关于“补运算”和“可数并运算”是封闭的。

设E是X上的Sigma Algebra,则 (X,E)称为可测量空间。

也就是说我们可以定义一个E到实数集R的映射,即给E的每个元素一个实数,比如下面的概率测度。

比如:

  • {1,2,3,4,5,6}的所有子集构成的集合是一个Sigma Algebra

  • [0,1]的所有开集的集合是一个Sigma Algebra.包含:

    (a,b) [a,b], (a,b],{a},(a1,b1)U(a2,b2)U…,…

证明:参考2

概率测度Probability Measures

对可测空间(X,E),我们可以定义一个满足下列条件的概率测度.

(1) P(X) = 1 , P(O) = 0;

(2) 满足可数可加性: 互不相交的可数个子集的并的概率等于这些子集概率的和。

(X,E,P)称为概率空间.例如:

  • X = {1,2,3,4,5,6} ,P(i) = 1/6; i = 1,2,3,4,5,6

  • [0,1]的Sigma Algebra, P([0,x)) = x .

随机变量Random Variables

随机变量就是给每个样本一个实数值,即一个X->R的可测函数,使得对于实数集R的Sigma Algebra的任一个元素B,其逆象是X的Sigma Algebra的一个元素。

例如“扔骰子”,可对每个样本定义可测函数:当它是奇数为0,当它是偶数为1.

期望

通俗地讲,就是随机变量的平均值。

  1. Abstract Measure Theory

  2. Introduction to Probability Theory


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